Более века назад, Шриниваса Рамануджан потряс математический мир своей необычайной способностью видеть в числах удивительные закономерности, которые никто другой не мог видеть. Математик-самоучка из Индии описывал свои идеи как глубоко интуитивные и духовные, а закономерности часто приходили к нему в ярких снах. Эти наблюдения отразили потрясающую красоту и явную возможность абстрактного мира чистой математики. В последние годы мы начали видеть, как ИИ совершает прорыв в области, связанные с глубокой человеческой интуициейи в последнее время на некоторых из самые сложные проблемы в наукахОднако до сих пор новейшие методы искусственного интеллекта не помогли добиться значительных результатов в чисто математических исследованиях.

Как часть Миссия DeepMind Чтобы решить проблему интеллекта, мы исследовали потенциал машинного обучения (МО), позволяющий распознавать математические структуры и закономерности и помогать математикам делать открытия, которые иначе они, возможно, никогда бы не обнаружили, — впервые продемонстрировав, что ИИ может помочь на переднем крае чистой математики.

Наша исследовательская работа, опубликованная сегодня в журнале Nature, подробно описывает наше сотрудничество с ведущими математиками в применении ИИ для открытия новых идей в двух областях чистой математики: топологии и теории представлений. С Профессор Джорди Уильямсон в Сиднейском университете мы открыли новую формулу гипотезы о перестановках, которая оставалась неразгаданной на протяжении десятилетий. С Профессор Марк Лакенби и Профессор Андраш Юхас В Оксфордском университете мы обнаружили неожиданную связь между разными областями математики, изучая структуру узлов. По словам ведущих математиков, рецензировавших эту работу, это первые значительные математические открытия, сделанные с помощью машинного обучения. Мы также публикуем полные сопутствующие статьи по arXiv для каждого результата, которые будут отправлены в соответствующие математические журналы (бумага для перестановок; узлы бумаги). На основе этих примеров мы предлагаем модель того, как другие математики могут использовать эти инструменты для достижения новых результатов.

Двумя фундаментальными объектами, которые мы исследовали, были узлы и перестановки.

На протяжении многих лет компьютеры использовались математиками для генерации данных, помогающих в поиске закономерностей. Этот вид исследований, известный как экспериментальная математика, привел к появлению хорошо известных гипотез, таких как гипотеза Берча и Суиннертона-Дайера — один из шести Проблемы премии тысячелетия, самые известные открытые задачи по математике (за каждую из которых прилагается приз в 1 миллион долларов США). Хотя этот подход оказался успешным и довольно распространен, выявление и обнаружение закономерностей на основе этих данных по-прежнему полагается в основном на математиков.

Поиск закономерностей стал еще более важным в чистой математике, поскольку теперь можно генерировать больше данных, чем любой математик может разумно ожидать изучить за всю жизнь. Некоторые объекты, представляющие интерес, например объекты с тысячами измерений, также могут быть слишком непостижимыми, чтобы о них можно было рассуждать напрямую. Учитывая эти ограничения, мы полагали, что ИИ сможет расширить знания математиков совершенно новыми способами.

Наши результаты показывают, что ML может дополнять математические исследования, помогая интуитивно понять проблему, обнаруживая существование предполагаемых закономерностей с помощью контролируемого обучения и давая представление об этих закономерностях с помощью методов атрибуции машинного обучения:

Вместе с профессором Уильямсоном мы использовали ИИ, чтобы помочь найти новый подход к давней гипотезе в теории представлений. Бросая вызов прогрессу на протяжении почти 40 лет, гипотеза комбинаторной инвариантностиутверждает, что между определенными ориентированными графами и полиномами должна существовать связь. Используя методы ML, мы смогли обрести уверенность в том, что такая связь действительно существует, и определить, что она может быть связана со структурами, известными как нарушенные двугранные интервалы и экстремальные отражения. Обладая этими знаниями, профессор Уильямсон смог предложить удивительный и красивый алгоритм, который разрешил бы гипотезу комбинаторной инвариантности. Мы вычислительно проверили новый алгоритм на более чем 3 миллионах примеров.

Вместе с профессором Лакенби и профессором Юхасом мы исследовали узлы — один из фундаментальных объектов изучения топологии. Узлы не только рассказывают нам о том, как можно запутать веревку, но также имеют удивительную связь с квантовой теорией поля и неевклидовой геометрией. Алгебра, геометрия и квантовая теория имеют уникальные точки зрения на эти объекты, и давняя загадка заключается в том, как связаны между собой эти различные ветви: например, что геометрия узла говорит нам об алгебре? Мы обучили модель ML обнаруживать такую ​​закономерность, и, что удивительно, это обнаружило, что определенная алгебраическая величина — сигнатура — была напрямую связана с геометрией узла, которая ранее не была известна и не предполагалась существующей теорией. Используя методы атрибуции машинного обучения, мы помогли профессору Лакенби открыть новую величину, которую мы называем естественным наклоном, которая намекает на важный аспект структуры, который до сих пор упускался из виду. Вместе мы смогли доказать точную природу этой взаимосвязи, установив некоторые из первых связей между этими различными областями математики.

Использование методов обучения и систем искусственного интеллекта открывает большие перспективы для выявления и открытия закономерностей в математике. Даже если некоторые виды шаблонов по-прежнему ускользают от современного машинного обучения, мы надеемся, что наша бумага о природе может вдохновить других исследователей рассмотреть потенциал ИИ как полезного инструмента в чистой математике. Чтобы повторить результаты, любой может получить доступ к нашему интерактивные блокноты. Размышляя о невероятном уме Рамануджана, Джордж Фредерик Джеймс Темпл писал: «Великие успехи в математике были достигнуты не логикой, а творческим воображением». Работая с математиками, мы с нетерпением ждем возможности увидеть, как ИИ может еще больше поднять красоту человеческой интуиции на новый уровень творчества.